f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{1-x}f(x)=1−x1である。 fk(x)f^k(x)fk(x)をいくつかのkkkについて試してみる。
f2(x)=11−11−x=1−x1−x−1=1−1xf^2(x) = \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = \frac{1-x}{1-x-1} = 1 - \frac{1}{x}f2(x)=1−1−x11=1−x−11−x=1−x1
f3(x)=1−(1−x)=xf^3(x) = 1 - (1-x) = xf3(x)=1−(1−x)=x
f4(x)=11−x=f1(x)f^4(x) = \frac{1}{1-x} = f^1(x)f4(x)=1−x1=f1(x)
すなわちk≥4k \geq 4k≥4のときfk(x)=fk−3(x)f^k(x) = f^{k-3}(x)fk(x)=fk−3(x)なので、 求める値は f1999(2000)=f1996(2000)=⋯=f1(x)=−11999f^{1999}(2000) = f^{1996}(2000) = \cdots =f^1(x) = \frac{-1}{1999}f1999(2000)=f1996(2000)=⋯=f1(x)=1999−1 である。