2.3.12

(a)

$$\sqrt{3}$$が有理数とする。すなわちある互いに素な自然数$$a,b$$を用いて $$\sqrt{3}=\frac{b}{a}$$と表せる。

両辺を2乗して$$3a^2 = b^2$$である。左辺は3で割り切れるので右辺も3で割りきれて $$3 \mid b^2$$である。 また$$3 \nmid b$$ならば$$3\nmid b^2$$である(3で割った余りをすべて試せば分かる)。 従って対偶を取ると$$3 \mid b$$であり、$$9 \mid b^2$$である。 そこで$$b = 3b'$$を代入すると$$a^2 = 3{b'}^2$$となり、 同じ議論により$$3 \mid a$$となるが、これは$$a,b$$が互いに素であることに矛盾する。

(b)

$$\sqrt{6}$$が有理数とする。すなわちある互いに素な自然数$$a,b$$を用いて $$\sqrt{6}=\frac{b}{a}$$と表せる。

両辺を2乗して$$6a^2 = b^2$$である。左辺は3で割り切れるので右辺も6で割りきれて $$6 \mid b^2$$である。 また$$6 \nmid b$$ならば$$6\nmid b^2$$である(6で割った余りをすべて試せば分かる)。 従って対偶を取ると$$6 \mid b$$であり、$$36 \mid b^2$$である。 そこで$$b = 6b'$$を代入すると$$a^2 = 6{b'}^2$$となり、 同じ議論により$$6 \mid a$$となるが、これは$$a,b$$が互いに素であることに矛盾する。

(c)

$$\sqrt{49}$$が有理数とする。すなわちある互いに素な自然数$$a,b$$を用いて $$\sqrt{49}=\frac{b}{a}$$と表せる。

両辺を2乗して$$49^2 a^2 = b^2$$である。左辺は49で割り切れるので右辺も49で割りきれて $$49 \mid b^2$$である。

また$$49 \nmid b$$ならば$$49\nmid b^2$$である(49で割った余りをすべて試せば分かる)。 ... (*)

(*)で破綻する。$$49 \nmid b$$であっても$$49 \nmid b^2$$とは限らない。実際 $$b \bmod 49 = 7$$のとき$$b^2 \bmod 49 = 0$$である。