背理法で示す。3+2=q\sqrt{3} + \sqrt{2} = q3+2=qが有理数とする。 無理数を消すために両辺に3−2\sqrt{3} - \sqrt{2}3−2をかけると、 1=(3−2)q1 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})q1=(3−2)qである。 q>0q > 0q>0なのでqqqで割ると3−2=1q\sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{1}{q}3−2=q1である。
最初の等式に足すと23=q+1q, 3=q+1q22\sqrt{3} = q + \frac{1}{q},\ \sqrt{3} = \frac{q + \frac{1}{q}}{2}23=q+q1, 3=2q+q1となる。 右辺は有理数同士の和と除算だけなので有理数であるが、これは3\sqrt{3}3が無理数であることに矛盾する。