6.1.29

まず$$(x+y+z)^2$$を計算する。

$$(x+y+z)^2 = (x+y+z)(x+y+z) = (xx + xy + xz) + (yx + yy + yz) + (zx+zy+zz)$$ であるから$$x^2$$の項と交差項$$xy$$の2種類が出てくる。 後者は$$xy,yx$$の形で2回現れるので $$(x+y+z)^2 = (x^2+y^2+z^2) + 2(xy+yz+zx)$$ となる。

次に3乗を計算する。 $$(x+y+z)^3 = (x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)$$であるから、$$x^ay^bz^c$$の項が 何回出てくるか考えるとそれは3つの因子の中から$$x$$を$$a$$回、$$y$$を$$b$$回、$$z$$を$$c$$回選ぶ 場合の数と等しい (但し$$a+b+c=n$$)。 これは"x"が$$a$$個、"y"が$$b$$個、"z"が$$c$$個ある文字列の並び替えの総数と同じなので ミシシッピの公式から$$\frac{n!}{a!b!c!}$$である。 結局

$$(x+y+z)^3 = \frac{3!}{3!0!0!}(x^3+y^3+z^3) + \frac{3!}{2!1!0!}(x^2y+y^2z+z^2x+zy^2+yz^2+zx^2) + \frac{3!}{1!1!1!}(xyz)$$

となる。

上の3乗のときの考えをそのまま一般化すれば$$(x_1+\cdots+x_n)^r$$の一般項は以下のようになる。

$$\sum_{\begin{array}{c} 0\leq i_1,i_2,\ldots,i_n \leq r \\ i_1+i_2+\cdots+i_n=r \end{array}} \frac{r!}{i_1!i_2!\cdots i_n!}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$$

特に$$n=2$$のときは$$i_2 = r - i_1$$と置き換えられるので上の式は

$$\sum_{0\leq i_1 \leq r} \frac{r!}{i_1!(r-i_1)!}x_1^{i_1}x_2^{n-i_1} = \sum_{0\leq i_1 \leq r} \binom{r}{i_1}x_1^{i_1}x_2^{n-i_1}$$ となり二項定理と同じ形になる。