2.2.23

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$という公式に着目する。これは求める等式の形に似ている。 $$2ab$$の項を自乗の形で表せるようにしたい。そこで$$b=2a$$とすると $$(3a)^2 = a^2 + (2a)^2 + (2a)^2$$を得る。これは任意の$$a$$で成り立つから、 $$a$$を正の整数として$$(x,y,z,w) = (a, 2a, 2a, 3a)$$という無限個の解が得られた。

別解 (最初に考えた汚い解)

$$x^2+y^2+z^2=w^2$$, 移項すると$$x^2+y^2 = (w-z)(w+z)$$である。 $$A = w-z, B=w+z, C = AB$$とすると$$x^2+y^2=C, w=\frac{A+B}{2}, z=\frac{-A+B}{2}$$となる。 $$w,z$$は正の整数なので$$A < B$$かつ$$A,B$$の偶奇は一致する。また$$C=AB$$から $$A,B,C$$の偶奇はすべて一致する。

$$C$$が奇数であれば$$A=1,B=C$$と選ぶことができるのでそのように$$x,y$$を選びたい。 $$k$$を正の整数として$$x=1, y=2k$$とすると$$C=4k^2+1$$となりこの条件を満たす。 このとき、$$w = \frac{A+B}{2} = 2k^2 + 1, z = \frac{-A+B}{2} = 2k^2$$となる。 つまり$$(x,y,z,w) = (1, 2k, 2k^2, 2k^2+1)$$である。 $$k$$は正の整数という制約しかないのでこれで正の整数解が無限個求まった。