6.1.20

(a) $$\binom{2n}{n} = 2\binom{n}{2} + n^2$$

$$2n$$個のボールから$$n$$個選ぶのは、ボールを$$n$$個からなる2つのグループ$$A,B$$に分けた後、 $$A$$から2つ選ぶとき、$$B$$から2つ選ぶとき、$$A,B$$から1つずつ選ぶときの3つの場合の数の和に等しい。 前二つは$$\binom{n}{2}$$となり最後は$$\binom{n}{1}\binom{n}{1} = n^2$$であるから等式が成り立つ。

(b) $$\binom{2n+2}{n+1} = \binom{2n}{n+1} + 2\binom{2n}{n} + \binom{2n}{n-1}$$

$$1,2,\ldots,2n+2$$と数字が書かれたボールから$$n+1$$個ボールを選ぶ。 1,2を選ぶか選ばないかで4通りあり、残りのボールが$$2n$$個であることに注意すると、両方選ぶときは$$\binom{2}{2}\binom{2n}{n-1}$$通り、 片方のみ選ぶときは$$\binom{2}{1}\binom{2n}{n}$$通り、 一つも選ばないときは$$\binom{2}{0}\binom{2n}{n+1}$$通りある。 これらは互いに独立なので等式が成り立つ。