6.2.10

$$A=\{1,2,3,\ldots,30\}$$とする。 要素の和が$$1+2+\cdots+30 = 465$$となるのでちょうど半分になりそうである。

集合$$L,U$$を$$L=\{X \subseteq A \mid X\text{の総和が232以下}\}, U=\{Y \subseteq A \mid Y\text{の総和が232より大きい}\}$$とする。 このとき$$L \cup U = 2^A,\ L \cap U = \emptyset$$である。

また任意の$$X \in L$$について$$\overline{X}$$の総和は232より大きいので$$\overline{X} \in U$$である。 同じように任意に$$Y \in U$$を取ったとき$$\overline{Y} \in L$$である。 この関係で明らかに$$L,\ U$$は1対1に対応するので$$|L| = |U|$$となる。 従って部分集合の和が232より大きくなるものは$$2^{30}/2 = 2^{29}$$通りある。