2.2.24

問題の等式から次のような予測が立てられる。

任意の整数$$n$$についてある自然数$$k$$と$$b_1,\ldots,b_k \in \{1,-1\}$$が存在し、 $$n = b_1 1^2 + b_2 2^2 + b_3 3^2 + \cdots + b_k k^2$$が成り立つ。

最初の数をいくつか試す。

$$\begin{array}{rcl} 1 &=& 1^2\\ 2 &=& - 1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2\\ 3 &=& -1^2 + 2^2\\ 4 &=& -1^2-2^2+3^2\\ 5 &=& 1^2 + 2^2\\ 6 &=& 1^2-2^2+3^2\\ 7 &=& -1^2+2^2+3^2-4^2-5^2+6^2\\ 8 &=& -1^2-2^2+3^2+4^2-5^2-6^2+7^2\\ 9 &=& 1^2+2^2+3^2-4^2-5^2+6^2 = -1^2-2^2+3^2+4^2+5^2-6^2\\ 10 &=& -1^2+2^2-3^2+4^2 \end{array}$$

証明の見当が付かないのでいくつか気づいたことを列挙するだけにする。

• mod 4を考えると、$$k^2 \bmod 4 \in \{0, 1\}$$なので、$$n$$が奇数であることと$$k \bmod 4 < 2$$は同値である。
• $$n$$を作るのにそれまでの結果が使える。例えば$$n=-1^2+\cdots$$で表せるなら、直ちに$$n+2 = 1^2+\cdots$$がわかる。
• $$k$$個で表せる集合を$$A_k$$とすれば$$A_{k+1} = \{x \pm (k+1)^2 \mid x \in A_k\}$$と並行移動させたような集合になる。