2.2.16

正の整数$$x_1,x_2,\ldots,x_n$$まで分かっていると仮定して$$x_{n+1}$$を求めてみる。 満たすべき条件は$$\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1}} = 1$$である。

$$S = x_1 x_2\cdots x_n$$とすると条件は $$\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_{n+1}}+\frac{1}{Sx_{n+1}} = 1$$と表せる。 仮定から$$\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}=1-\frac{1}{S}$$を満たすので、左辺を条件に代入すると $$1-\frac{1}{S}+x_{n+1}+\frac{1}{Sx_n+1}=1$$となる。 これを$$x_{n+1}$$について解けば$$x_{n+1} = S+1$$となる。 $$S$$は整数なので$$x_{n+1}$$も整数となるのでこれは解の条件を満たす。

$$n=1$$のときの条件から$$x_1=2$$はすぐに分かるので、 $$x_n$$を表にすると以下のようになる。計算すると確かに条件を満たすことが分かる。