2.3.22

背理法で示そう。$$T,U$$が共に閉じていないとする。 このときある$$t_1, t_2 \in T$$と$$u_1, u_2 \in U$$が存在し $$t_1 t_2 \notin T,\ u_1 u_2 \notin U$$である。

これらは$$S$$の要素であり、$$S$$が閉じていること、また$$T,U$$は$$S$$の分割であることから $$t_1 t_2 \in U,\ u_1 u_2 \in T$$を満たす。

これらの積をとると$$U$$が任意の3要素の積について閉じていることから $$(t_1 t_2) u_1 u_2 \in U$$となるはずである。 しかし同じように$$T$$が任意の3要素の積について閉じていることから $$t_1 t_2 (u_1 u_2) \in T$$となるはずである。 しかしこれは$$S,T$$に共通部分がないことに矛盾する。 故に$$T, U$$の少なくとも一方は積について閉じている。