4.3.8

右辺を見ると次数 $2n$ の二項定理を考えればよさそうである。そこで $f(x) = (x+1)^{2n}$ とする。このとき $f(x)$ の $x^n$ の係数は $\binom{2n}{n}$ となる。

一方 $f(x) = (x+1)^n (x+1)^n = (\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^i)(\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^i)$ であるから、これの $x^n$ の係数は次のようになる: $\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{n-i}$ 。

恒等式が成り立つので $\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{n-i} = \binom{2n}{n}$ である。 $\binom{n}{n-i} = \binom{n}{i}$ であるからもとの等式は成り立つ。