6.1.21

(a)

$$n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_t^{e_t}$$とする。

各$$i$$に対して$$0 \leq k_i \leq e_i$$なる$$k_i$$を選び $$n'=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_t^{k_t}$$とすると$$n'\mid n$$である。 また一つでも$$e_i < k_i$$なる$$k_i$$があれば$$n' \nmid n$$となる。 $$n'$$と$$\langle k_1, \ldots, k_t \rangle$$は1対1に対応するので 約数の個数は条件を満たす$$\langle k_1, \ldots, k_t \rangle$$の個数である。 これは$$(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_t+1)$$個あるので $$d(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_t+1)$$である。

(b)

示すことは整数が奇数個の約数を持つことと平方数であることが同値だということである。 約数が奇数個となるには$$d(n)$$の右辺の因子が全て奇数でなければならない。 つまり$$e_1,e_2,\ldots,e_t$$は全て偶数となる必要がある。 このとき$$n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_t^{e_t} = (p_1^{e_1/2}p_2^{e_2/2}\cdots p_t^{e_t/2})^2$$であるから$$n$$は平方数である。 逆に$$n$$が平方数のとき$$d(n)$$は奇数となる。