2.2.21

(a)

ガウスのあれを使う。総和の順序を変えて縦に2つ並べる。

$$1+2+\cdots+n=S$$

$$n+(n-1)+\cdots+1=S$$

これらを縦に足すと $$(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1) = 2S$$となる。 $$n+1$$が$$n$$個あるので$$S = n(n+1)/2$$である。

(b)

最初の数項を計算する。$$S_k(n) = 1^k + 2^k + \cdots + n^k$$とする。

これより$$S_3(n) = S_1(n)^2$$と予想ができる。これは帰納法で示せる。

(c)

(b)から$$S_k(n)$$は前の総和のべき乗で表せるかもしれない。表にすると下のようになる。 これを見る限り綺麗な形はなさそうである。