2.3.14

背理法で示す。 $$\log_{10}{2} = \frac{b}{a}$$とする (但し$$a,b > 0$$は自然数で互いに素)。 定義から$$10^{\frac{b}{a}} = 2,\ 10^b = 2^a$$である。

10は5を約数に持つが2は持たない。よってこの等式は$$b = 0$$のときしか成立しないが これは$$b > 0$$に反する。