背理法で示す。 a=pqa = \frac{p}{q}a=qpとしa+b=mna+b = \frac{m}{n}a+b=nmと表せたとする(但しp⊥q, m⊥np\perp q,\ m \perp np⊥q, m⊥n)。 このときb=mq−npnqb = \frac{mq - np}{nq}b=nqmq−npで有理数となるがこれはbbbが無理数であることに反する。