2.2.29

$$n,S(n)$$を表にすると次のようになる。

明らかに$$S(n^2) = 0$$なので$$A=n^2$$のとき定数列になる。 一方、この表を見ると$$n=k^2$$の形で表せないときは$$n + S(n)$$もまた$$k^2$$の形で表せない。

これを一般化して$$n$$が平方数でないとき、つまり$$n = k^2 + m (0 < m < 2k+1)$$のとき$$n + S(n)$$も平方数でないことを示せないか試してみる。 もしこれが成り立てば定数列になるのは$$A = n^2$$に限る事がわかる($$a_0$$が平方数でなければ$$a_1$$は平方数にならず、同様に$$a_2,a_3.\ldots$$も平方数とならないため)。

背理法を用いる。すなわちある$$d>0$$を用いて$$n+S(n) = (k+d)^2$$と平方数で表せると仮定する。 $$S(n) = n - k^2 = m$$であるから$$n+S(n) = n + m = k^2+2m$$である。 従って$$k^2+2m = (k+d)^2$$となり整理すると$$2m = 2kd + d^2$$を得る。 左辺が偶数なので$$d^2$$も偶数、つまり$$d = 2d' (d'>0)$$である。 代入すると不等式$$m = 2kd' + 2d' = 2d'(k+1) > 2(k+1) = 2k+2$$が得られる。 しかしこれは$$m < 2k+1$$に矛盾する。故に$$n+S(n)$$は平方数でない。