2.3.16

(問題設定がよくわからなかったので次のように解釈した)

次の条件を満たす複素数上の順序関係$${\geq}$$が作れるか?

任意の複素数$$z_1, z_2, z_3$$について

• $$z_1 \geq z_2$$ならば$$z_1 + z_3 \geq z_2 + z_3$$
• $$z_1, z_2 \geq 0$$ならば$$z_1 z_2 \geq 0$$

順序関係が存在したと仮定する。 $$0 \geq i$$か$$i \geq 0$$のどちらかが成り立つはずである。

• $$0 \geq i$$のとき

両辺に$$-i$$を足して$$-i \geq 0$$である。両辺に$$-i$$をかけても不等式が成り立つので $$-i$$を2回かけると$$i \geq 0$$を得る。 これと仮定から$$i=0$$となるがこれは矛盾。

• $$i \geq 0$$のとき

両辺に$$i$$をかけても不等式が成り立つので2回かけると $$-i \geq 0$$となる。両辺に$$i$$を足して$$0 \geq i$$となりやはり矛盾する。