仮定よりx+x−1x+x^{-1}x+x−1は整数である。 任意の自然数n≥1n\geq 1n≥1に対してxn+x−nx^n+x^{-n}xn+x−nが整数であることを累積帰納法で示す。
n>1n>1n>1のとき(xn−1+x−(n−1))(x+x−1)=(xn+x−n)+(xn−2+x−(n−2))(x^{n-1} + x^{-(n-1)})(x + x^{-1}) = (x^n + x^{-n}) + (x^{n-2} + x^{-(n-2)})(xn−1+x−(n−1))(x+x−1)=(xn+x−n)+(xn−2+x−(n−2)) なのでxn+x−n=(xn−1+x−(n−1))(x+x−1)+(xn−2+x−(n−2))x^n + x^{-n} = (x^{n-1} + x^{-(n-1)})(x + x^{-1}) + (x^{n-2} + x^{-(n-2)})xn+x−n=(xn−1+x−(n−1))(x+x−1)+(xn−2+x−(n−2))である。 帰納法の仮定より右辺に現れる全ての項は整数であることが言えるので、左辺のxn+x−nx^n+x^{-n}xn+x−nも整数である。