二項定理より(a+b)n=∑i=0n(ni)aibn−i(a+b)^n = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}(a+b)n=i=0∑n(in)aibn−iである。
a=b=1a=b=1a=b=1を代入すると 2n=∑i=0n(ni)=(n0)+(n1)+⋯+(nn)2^n = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} 2n=i=0∑n(in)=(0n)+(1n)+⋯+(nn) を得る。
上の二項定理でa=−1,b=1a=-1, b=1a=−1,b=1を代入すると 0n=∑i=0n(−1)i(ni)=(n0)−(n1)+⋯+(−1)n(nn)0^n = \sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i} = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \cdots + (-1)^n\binom{n}{n} 0n=i=0∑n(−1)i(in)=(0n)−(1n)+⋯+(−1)n(nn) を得る。