2.2.18

$$q(n) = \left\lfloor \frac{n}{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} \right\rfloor$$と$$\lfloor \sqrt{n} \rfloor$$を表にすると下のようになる。

$$\lfloor \sqrt{n} \rfloor$$が同じ範囲の$$n$$では$$q(n))$$の分母は一定でかつ分子の$$n$$が単調に 増えるので$$q(n) > q(n+1)$$となりえない。 一方ある$$k>1$$に対して$$n=k^2-1$$のときは$$\lfloor \sqrt{n} \rfloor < \lfloor \sqrt{n+1} \rfloor$$ であるから$$q(n) > q(n+1)$$となりうる。

両辺を計算すると$$q(n) = \left\lfloor \frac{k^2-1}{\lfloor \sqrt{k^2-1} \rfloor} \right\rfloor = \frac{k^2-1}{k-1} = k+1,$$ $$q(n+1) = \left\lfloor \frac{k^2}{\lfloor \sqrt{k^2} \rfloor} \right\rfloor = \frac{k^2}{k} = k$$ となるため、$$q(n) > q(n+1)$$が常に成り立つ。

以上より求める$$n$$は$$k^2-1 (k>1)$$で表せる全ての整数である。