2.3.26

任意の自然数$$n$$について$$a_n = n(n+1)(n+2)$$が6の倍数であることを示す。

まず$$n < 6$$のとき$$a_n$$はそれぞれ$$0,6,24,60,120,210$$となりいずれも6の倍数である。

$$n \geq 6$$のとき

$$\begin{array}{rcl} a_n &=& n(n+1)(n+2) \\ &=& ((n-6) + 6)((n-5)+6)((n-4)+6) \\ &=& (n-6)(n-5)(n-4)\\ && + 6(n-5)(n-4) + 6(n-6)(n-4) + 6(n-6)(n-5)\\ && + 36(n-6) + 36(n-5) + 36(n-4) + 216 \end{array}$$

帰納法の仮定から$$(n-6)(n-5)(n-4)$$は6の倍数で、それ以外の項も係数が6の倍数であるから 全体の和である$$a_n$$も6の倍数である。

負の連続する数についても同様にして帰納法で示すことができる。 最後に正の数と負の数をどちらも含むときは明らかに6の倍数である。

これで全ての3つの連続する整数の積が6の倍数であることが示せた。